MomentGeneratingFunction

Moment는 RandomVariable인 X에 대해서 정의된다.

어떤 확률 분포에 대해서 , 그 분포를 알고 싶으면 가장 좋은 방법은 ProbabilityMassFunction 또는 ProbabilityDensityFunction을 알면 가장 정확하지만 그들을 모르는 경우에는 평균, 분산등의 정보를 계산함으로써 그 분포에 근접해 나가는 방법을 사용한다.

이때 정보들은 $E(X^{0}),E(X), E(X^{2}), E(X^{3}) , ...$

을 이용하여 알수 있다.

예를 들어 평균은 E(X) 를 이용해 알수 있고, 분산은 $E(X^{2})-{E(X)}^{2}$

을 이용해 알수 있는 등등..

이때 $E(X^{0}),E(X), E(X^{2}), E(X^{3}) , ...$

을 RandomVariable X의 Moment라고 한다.

이때 $E(X^{0}),E(X), E(X^{2}), E(X^{3}) , ...$

을 하나의 집합으로 보면 이들을 나타낼수 있는 함수를 생각해볼 수 있다.

$\phi(t) = E(e^{tX})$

함수로 아래의 경우처럼 X의 모든 Moment를 생성할 수 있다.

$\phi'(0) = E(X) $$ $$ \phi''(0) = E(X^{2})$

이 phi(t) 함수를 MomentGeneratingFunction이라고 한다.